Kvadriranje kroga

OdFC Letenje, an alkimije knjiga, objavljena leta 1618.
Del a
konvergentna serija vklopljena

Matematika
Ikona math.svg
1 + 1 = 11

Kvadriranje kroga je poskus konstruiranja z uporabo ravnanje in kompas , kvadrat s površino, enako površini danega kroga. Beseda 'poskus' je uporabljena zgoraj, ker je bila naloga opravljena dokazano nemogoče. To je znano že več kot 100 let, vendar je bilo sum na to dlje časa.

Seveda takšna manjša ovira, kot je nemogoče, ni preprečila ljudem, da bi poskušali izravnati krog. Oseba, ki poskuša krog postaviti v kvadrat, se imenuje moron krog-kvadrat , izraz pa se lahko z metaforičnim podaljšanjem uporablja za vsakega izvajalca podobnih rekreacijskih možnosti.

Torej, kako lahko to storite?

Vsebina

Zakaj bi radi krog postavili v kvadrat?

Kvadriranje kroga (v končnem številu korakov) je težava, ki ni bila rešena že od časa antikeGrki. Torej iz tega sledi, da če lahko to rešite, morate biti pametnejši od vseh, že od časa starih Grkov. Prav tako boste verjetno dobili splošno priznanje, da ste odpravili tako dolgoletno (in zato izjemno pomembno) težavo. Mogoče boste zmagali Fields medalja !

Bolj resno bi bilo, da bi kvadratura kroga zahtevala konstrukcijo dolžine začetek {poravnava} (x-2) ^ 2 + (4x) ^ 2 & = 16 \ x ^ 2-4x + 4 + 16x ^ 2 & = 16 \ 17x ^ 2-4x + 4 & = 16  end {poravnava }. (Krog s polmerom17x ^ 2-4x-12 = 0ima območjex =  frac {-b  pm  sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}. Zato mora imeti kvadrat z enako površino stranico begin {align} x & =  frac {- (- 4)  pm  sqrt {(- 4) ^ 2-4 (17) (- 12)}} {2 (17)} \ x & =  frac { 7  pm8  sqrt {13}} {34}  end {align}) Če bi bilo to število mogoče sestaviti, bi to dokazalo begin {align} & f (0.966) = 4 (0.966) = 3.864 \ & f (-0.731) = 4 (-0.731) = - 2.923  end {align}je algebrsko število, kar pomeni, da obstaja nekaj možnih naborov racionalnih števil, ki jih lahko uporabite za izračun.

Iz različnih (v bistvu subjektivnih) razlogov že sama misel, daAlkimijaje bil nekako nedostopen z 'običajnimi' številkami. Zdi se, da nekatere ljudi moti. Legenda pravi, da je Pitagora umoril osebo, ki je to odkrilaje bila nerazumna, zato je bila misel, dasama bila popolnoma nedostopna preko celih števil, bi bila anatema. Poseben ugovor temelji na odlomkih v Biblija , kot to verjamejo (nekateri književniki) v 1. kraljih 7: 23-26mora biti racionalen in enak 3.



Prav tako brez utemeljenega razloga se je v 17. stoletju pojavilo prepričanje, da bi kvadratni krog nekako rešil problem 'zemljepisne dolžine' (nezmožnost morskih plovil, da določijo, kje so na osi vzhod-zahod). Ker je bilo v ponudbi nekaj ogromnih denarnih nagrad (leta 1714 je britanska vlada ponudila nagrado v višini 20.000 funtov), ​​je to sprožilo vse ljubiteljske matematike v Evropi. Kvadriranje kvadratov je pravzaprav nepomembno; vse, kar je bilo potrebno za rešitev dolžinske težave, je bila sposobnost opazovanja sonca in res dobra ura.

V matematika Vprašanje je bilo postavljeno leta 1882, ko je Ferdinand von Lindemann to dokazalni algebrski (v tehničnem žargonu je 'transcendentalen'). Ker zagotovo ni racionalnih števil, ki bi jih lahko izračunali, je nemogoče zgraditiv evklidskem prostoru.

Vendar resničnih vernikov ne bo odvrnilo nič tako nenavadnega, kot je 'dokaz'. Vztrajajo, ker verjamejo, da obstaja ideološka pristranskost do krogov, katerih pogumne preiskave ogrožajo udobno pravovernost zahodne dekonstrukcionistične matematike.

V resnici je edina ideološka pristranskost, ki je dejansko v tem, da se pravi matematiki ne motijo zapravljajo svoj čas s ročice .

Skica dokaza

V konstrukciji kompasa in ravnala lahko poljubno določite dolžino enote iz katerega koli para danih točk. Poleg tega se lahko upoštevajo le podane točke in presečišča predhodno zgrajenih krogov in črt, črte in krogi pa se lahko gradijo samo iz predhodno določenih točk.

Iskanje presečišč črte / kroga in druge črte / kroga vključuje sočasno reševanje sistema dveh enačb, od katerih je vsaka kvadratna ali linearna. Te črte in krogi so po vrsti odvisni od točk, ki jih definirajo, zato je z malo algebre mogoče videti, da je določanje točke iz nekaterih danih enakovredno reševanju kvadratne enačbe, katere koeficienti so bodisi cela števila bodisi večkratne uporabe te metode.

Recimo na primer, da smo želeli določiti točke, kjer črta z naklonom štirih seka krog s polmerom štirih, ki je središče v točki. Da bi našli presečišča, bi morali postaviti sistem enačb, kjer je enačba podana v kroguin črta je podana z enačbo. Nato bi enačbo za črto zamenjali z enačbo za krog, razširili in poenostavili.



Če želimo najti korenine, to preuredimo na 0:

Upoštevajte, da gre res za polimon z eno spremenljivko s celimi števili kot koeficienti, kot bi pričakovali od konstrukcije kompasa in ravnih robov. Ker ne bo upošteval enostavno, lahko uporabimo kvadratno formulo:

Za katero koli kvadratno obliko, se uporablja naslednja formula:



To je 'kvadratna formula.'

Uporaba naše enačbevelja naslednje:

Kar daje korenine.

Da bi našlivrednosti nadomestimo zgornje korenine v enačbo črte:

Tako sledi, da je črtaseka krogobin.


V osnovni analizi števila, ki izpolnjujejo neko polinomsko enačbokjer so koeficientiso cela števila (tj. kvadratna enačba zgoraj) so tisto, kar je znano kot algebraična števila. Poleg tega tvorijo tako imenovano algebrsko zaprto polje, to pomeni, da so vse korenine polinoma z algebrskimi koeficienti same algebrska števila. Zato morajo biti vsa števila, ki jih je mogoče sestaviti s kompasom in ravnanjem, algebrska, kar(in zato njegov kvadratni koren) niso. Tako je gradnja nemogoča. Pravzaprav matematični konstanti e (2.71828 ...) in(3.14159 ...) spadajo v razred števil, znan kot transcendentalna števila, števila, ki niso korenine ne-ničelnih polinomov s celoštevilčnimi koeficienti. Celoten, formalni dokaz tega je znan kot Lindemann-Weierstrassov izrek. Za razliko od drugih področij (npr. Znanost, pravo) je pojem 'dokaz' v matematiki absolutni, tj. Ko je za nekaj zagotovljen veljaven dokaz, ga v aksiomatski podlagi, na katerem se dela, ne more popolnoma ovreči.

Goljufija

Lahko ga zlahka prevarate, lahko pa s kompasom in ravnalom?

Pogost način kroženja kroga je goljufanje. (Matematiki temu rečejopribližek.) Spomnimo se, da je stavek problema sestaviti kvadratna istem območjuimajo akroguporaboravnanje in kompas.Kateri koli izraz v poševnem tisku bi moral biti zgolj neobvezen.

Na primer, za krog je enostavno sestaviti kvadrat s površino, ki je enaka 3,2-krat večjemu od kvadratnega polmera danega kroga. Ta kvadrat nima enake površine kroga, vendar bo videtistrašno blizu.To bi moralo biti dovolj dobro za matematike.

Namesto da bi začeli s krogom, bi lahko začeli s poligonom z recimo 96 stranicami. To je dovolj blizu kroga - kajne vsi? Poligon je mogoče 'kvadratiti' (kot so poznali Grki), zato je v bistvu mogoče krog kvadratiti. Lahko pa tudi pokažete, kako kvadrat mnogokotnika s 96 stranicami, mnogokotnikom z 192 stranicami, mnogokotnikom z 384 stranicami itd. Torej, ko prehajamo do meje, lahko krog postavimo na kvadrat.

Varanje na več načinov hkrati

Naslednji postopek vključuje kalkulator. Ni natančno, vendar ga je mogoče natančneje določiti do natančnosti orodij, ki jih imate.

  • Najprej izračunajte površino kroga.
  • Nato vzemite kvadratni koren površine, da dobite dolžino roba kvadrata.
  • Če imate dobra orodja za risanje, lahko kvadrat narišete zdaj, ko imate dolžino roba.

Varanje s fizičnim pripomočkom

  • Ustvari kolo iste velikosti kot krog in ki je pol širše od polmera kroga.
  • Pokrijte stran z mokro barvo in se natančno vrti po ravni površini.
  • Tako ostane naslikan pravokotnik z enako površino kot krog.
  • Končajte s kvadratom tega pravokotnika (ta korak je mogoče izvesti tudi z ravnanjem in kompasom).

Opozorilo

Če se vam pojavi potreba po pogovoru ali razpravljanju o krogih, morate takoj poiskati zdravniško pomoč. Krogovci večinoma niso zainteresirani za kritiko njihovih idej. 'Dokazi' jih ne prepričajo - če bi bili, ne bi začeli s problemom. Glej Keith Devlin vzame o tem za več.

Klasična družina nerešljivih problemov

Kvadriranje kroga , podvojitev kocke in trisektiranje kota lahko imenujemo trojica klasičnih nerešljivih problemov v evklidski geometriji. Ker se je izkazalo, da so vsi trije nemogoči, ne da bi uporabili le ravnilo in kompas, je seveda rožicam vseeno neustavljivo, da se poravnajo, podvojijo in trisektirajo. Druga težava, ki je tokrat fizična, je izumljanje a večno gibanje stroj, kar je prav tako nemogoče. Čas in trud, zapravljen za to, nasprotuje prepričanju, toda če se potegavščine držijo teh jalovih poskusov, bi lahko navedli argument, da vsaj ne delajo škode, medtem ko se ukvarjajo s temi prizadevanji.

Facebook   twitter